ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات 2025

Wat zijn rationale getallen in de wiskunde?Wiskunde bevat verschillende reeksen getallen, beginnend met de reeks natuurlijke getallen, die nul en positieve getallen omvat, de reeks gehele getallen, die nul, positieve en negatieve getallen omvat, en de rationale getallen, die breuken en irrationele getallen omvatten, en via … Referentiesite We zullen leren wat rationale getallen zijn in de wiskunde.

Wat zijn rationale getallen in de wiskunde?

Rationele getallen in de wiskunde worden gedefinieerd als getallen die in de rationale vorm A/B kunnen worden geschreven, zodat de teller en de noemer gehele getallen zijn en de noemer niet gelijk is aan nul.Dat wil zeggen, a en b behoren tot de groep gehele getallen, en b is niet gelijk aan nul, de noemer wordt ongedefinieerd is hetzelfde, terwijl het een negatief rationeel getal wordt genoemd als het teken is. De teller en de noemer zijn verschillend, en als het over irrationele getallen gaat, zijn dit de getallen die geen gehele getallen in de teller of noemer bevatten, zoals getallen die vierkantswortels van een onvolmaakt vierkant en oneindige decimale breuken bevatten.(1)

Voorbeelden van rationale getallen

Nadat we hebben geleerd wat rationale getallen zijn in de wiskunde, zijn er verschillende illustratieve voorbeelden van de vorm van rationale getallen, en deze voorbeelden zijn onder meer:

gehele getallen

Gehele getallen zijn getallen die positieve getallen, negatieve getallen en nul bevatten. Alle gehele getallen worden als rationale getallen beschouwd, omdat de teller het gehele getal is en de noemer gelijk is aan één geheel getal. Voorbeelden om dit te illustreren zijn:

• Het getal 10 is een rationaal getal: Het kan worden geschreven als een breuk 10/1, en de noemer is gelijk aan één geheel
• Het getal -4 is een rationaal getal: Het kan worden geschreven als een breuk -4/1, en de noemer is gelijk aan één geheel
• Het getal 0 is een rationaal getal: Waar het kan worden geschreven als 0/1, en de noemer gelijk is aan één geheel getal

Breuken en gemengde getallen

Een breuk is een breuk die kan worden geschreven in de vorm van een teller en een noemer, zodat zowel de teller als de noemer tot de verzameling gehele getallen behoren, en de waarde van de noemer niet gelijk is aan nul. en kan worden vertaald met symbolen. Een breuk is een breuk die kan worden geschreven in de vorm A/B, zodat beide tot A behoren, b tot de verzameling gehele getallen, en b niet gelijk is aan nul, en rationale getallen volgen hetzelfde. definitie als breuken, en het zijn ook rationale getallen, en illustratieve voorbeelden hiervan zijn:

• De breuk 2/4 wordt als een rationaal getal beschouwd, omdat de teller en de noemer tot de reeks gehele getallen behoren en de noemer niet gelijk is aan nul.
• Het gemengde getal 5 en 3/2 wordt als een rationeel getal beschouwd, omdat het kan worden omgezet in een breuk in de vorm A/B en de noemer niet gelijk is aan nul.

Opmerking: sommige breuken worden niet als relatief beschouwd, zoals weergegeven in de voorbeelden:

• De breuk 0/20 wordt als een irrationeel getal beschouwd. Hoewel de getallen 20 en 0 tot de verzameling gehele getallen behoren, is de noemer gelijk aan nul, en dit zal tot een ongedefinieerde waarde leiden.
• De breuk π/9 wordt als een irrationeel getal beschouwd. Hoewel de noemer een geheel getal is en niet gelijk is aan nul, wordt π niet als een rationaal getal beschouwd.

Decimalen

Decimale breuken zijn rationale breuken die in fractionele vorm kunnen worden geschreven, bestaande uit een teller en een noemer als het eindige of periodieke breuken zijn. Voorbeelden om dit te illustreren zijn:

• De decimale breuk 1.2 wordt als een rationaal getal beschouwd, omdat deze kan worden uitgedrukt in de vorm 1.2/1, en wanneer zowel de teller als de noemer worden vermenigvuldigd met het getal 10/10, resulteert het getal 12/10, wat een rationeel getal is. , aangezien de getallen 12 en 10 gehele getallen zijn, en het getal 10 niet gelijk is aan nul.
• De periodieke decimale breuk… 5,555 wordt als een rationaal getal beschouwd, omdat het kan worden geschreven als het gemengde getal 5 en 1/5, en deze breuk kan worden omgezet naar 10/5, wat als een rationaal getal wordt beschouwd.

Zie ook: Een irrationeel getal wordt een getal genoemd

De bekendste voorbeelden van irrationele getallen

Irrationele getallen zijn oneindige breuken, of een breuk met de noemer nul. De bekendste voorbeelden van irrationele getallen zijn:(2)

• π-nummer: Het wordt als een irrationeel getal beschouwd, omdat de waarde ervan gelijk is aan 3,1415926535897932384626433832795, wat een oneindige decimale breuk is.
• Nabirisch getal e: Het wordt beschouwd als een irrationeel getal, omdat de waarde ervan gelijk is aan 2,7182818284590452353602874713527, en het een oneindige decimale breuk is.
• Enkele vierkante en derdemachtswortels: De waarde ervan is gelijk aan oneindige decimalen, zoals de vierkantswortel van 3.

Zie ook: Oplossing voor het wiskundeboek, tweede tussenproduct, eerste semester, 1446

Eigenschappen van rationale getallen

Hieronder vindt u een reeks algemene kenmerken van rationale getallen, waaronder:

• Bij het vermenigvuldigen van twee rationale getallen is het resultaat het product van de teller van elk van de twee getallen, en het product van de noemer van elk van de twee getallen.
• Wanneer twee rationale getallen met dezelfde noemer worden opgeteld, is het resultaat de som van de tellers van de twee getallen, en blijft de noemer hetzelfde.
• Bij het aftrekken van twee rationale getallen met dezelfde noemer is het resultaat het resultaat van het aftrekken van de tellers van de twee getallen, en blijft de noemer hetzelfde.
• Bij het vermenigvuldigen, optellen of aftrekken van twee rationale getallen met dezelfde noemer is het resultaat een rationeel getal, en dat kan niet anders zijn.
• Wanneer de teller en de noemer van een rationaal getal worden gedeeld door een geheel getal waarvan de waarde niet gelijk is aan nul, is het resultaat ook een rationeel getal.
• Wanneer de teller en de noemer van een rationeel getal worden vermenigvuldigd met een geheel getal waarvan de waarde niet gelijk is aan nul, is het resultaat ook een rationeel getal.
• Het kwadraat van een vierkantswortel is altijd gelijk aan een rationeel getal, en de waarde ervan is het getal binnen de wortel.
• Het product van irrationele wortels kan soms tot een irrationeel getal leiden.
• Als de gemeenschappelijke factor van de teller en de noemer van een rationeel getal slechts 1 is, wordt dit de standaardvorm van een rationeel getal genoemd.
• Het proces van het optellen of aftrekken van irrationele getallen kan niet leiden tot het verkrijgen van rationale getallen, tenzij de twee getallen tegengestelde tekens hebben en elkaar opheffen.

Diverse vragen over rationale getallen

Verschillende vragen helpen bij het correct begrijpen van de definitie van rationale getallen, waaronder de volgende:

• Eerste vraag: Staan de volgende breuken voor rationale getallen?
  • De breuk 8/5: Het wordt beschouwd als een rationeel getal, omdat zowel de teller als de noemer tot de reeks gehele getallen behoren en de noemer niet gelijk is aan nul.
  • De breuk 4/0: wordt niet als een rationeel getal beschouwd, omdat de noemer gelijk is aan nul en daarom een ​​ongedefinieerd getal is.
  • -8: Het wordt beschouwd als een rationeel getal, omdat het geschreven kan worden als 8/1-
  • 0: Het wordt beschouwd als een rationaal getal, omdat het kan worden geschreven als 0/1
• Tweede vraag: Staan de volgende decimalen voor rationale getallen?
  • 2.585858585858: Een rationeel getal, omdat het een periodieke breuk is waarin de getallen 5 en 8 met dezelfde frequentie worden herhaald.
  • 1,4789: een rationaal getal, omdat het een eindige decimale breuk is.
• Derde vraag: Worden de volgende waarden beschouwd als rationale breuken of iets anders?
  • 2/4: Een rationeel getal, aangezien zowel de teller als de noemer tot de verzameling gehele getallen behoren en de noemer niet gelijk is aan nul.
  • 1 en 3/4: een rationaal getal, omdat het gelijk is aan de breuk 7/4, die als een rationaal getal wordt beschouwd, aangezien de teller en de noemer twee gehele getallen vertegenwoordigen en de noemer niet gelijk is aan nul.
  • 200/7895: Een rationaal getal, aangezien zowel de teller als de noemer tot de verzameling gehele getallen behoren en de noemer niet gelijk is aan nul.

Rationele getallen vergelijken

Het vergelijken van rationale getallen is een proces dat de relatie van getallen met elkaar verklaart door vergelijkingstekens zoals het gelijkteken, het groter dan-teken en het kleiner dan-teken, zodat wordt bepaald of een waarde gelijk is aan, groter dan of kleiner dan de andere waarde. Tekens en symbolen worden gebruikt om rationale getallen te vergelijken, en ze zijn als volgt:(3)

• Gelijkteken (=): Het wordt gebruikt om aan te geven dat twee waarden gelijk zijn, bijvoorbeeld 3/4 = 3/4
• Het kleiner dan-teken (wordt gebruikt om aan te geven dat de eerste waarde kleiner is dan de tweede waarde, bijvoorbeeld 1/4
• Groter dan teken (>): Het wordt gebruikt om aan te geven dat de eerste waarde groter is dan de tweede waarde, bijvoorbeeld 1/5 > 1/7

Positieve rationale getallen vergelijken

Een positief rationaal getal is een getal waarin de tekens van de teller en de noemer positief zijn. Het proces van het vergelijken van rationale getallen verloopt via de volgende stappen:

• Bijvoorbeeld: Vergelijk het getal 6/3 en het getal 4/5:
• Het verenigen van de noemers van rationale getallen, door het kleinste gemene veelvoud te bepalen
• Het kleinste gemene veelvoud van 6/3 en 4/5 is 15
• We vermenigvuldigen de teller en de noemer van 6/3 met 5 om 30/15 te krijgen
• We vermenigvuldigen de teller en de noemer van 4/5 met 3 om 12/15 te krijgen
• We vinden dat 30/15 = (5 x 3) / (5 x 6) = 6/3
• We vinden dat 12/15 = (3 x 5) / (3 x 4) = 4/5
• De vergelijking wordt 15/30 en 15/12.
• We vergelijken de teller van elk getal nadat we de noemers hebben verenigd, en het getal met de grootste teller is het grootste getal, en aangezien de teller een geheel getal is, wordt deze op dezelfde manier vergeleken als het vergelijken van gehele getallen.
• We vinden dat het getal 30 groter is dan het getal 12
• Dus 30/15 is groter dan 12/15, dus 6/3 > 4/5

Negatieve rationale getallen vergelijken

Een negatief rationeel getal is een getal waarin de tekens van de teller en de noemer negatief zijn. Het proces van het vergelijken van negatieve rationale getallen verloopt als volgt:

• Het verenigen van de noemers van rationale getallen, door het kleinste gemene veelvoud te bepalen.
• We vergelijken de tellers van beide rationale getallen op dezelfde manier als we negatieve getallen vergelijken.
• Het grotere negatieve getal is het kleinere getal.
• Bij het vergelijken van negatieve getallen en positieve getallen is het negatieve getal altijd kleiner dan het positieve getal, ongeacht de waarde ervan.

Voorbeelden van het vergelijken van rationale getallen

Illustratieve voorbeelden helpen bij het correct begrijpen van het vergelijken van positieve en negatieve rationale getallen. Voorbeelden hiervan zijn:

• Eerste voorbeeld: Vergelijk de getallen 4/8 en 7/8?
  • Het getal 7/8 > 4/8, omdat de noemers hetzelfde zijn, en het getal 7 groter is dan het getal 4.
• Tweede voorbeeld: Vergelijk de getallen 2/3 en 4/9?
  • We ontdekken dat de noemers niet gelijk zijn, dus standaardiseren we de noemers door het kleinste gemene veelvoud =9 te vinden
  • We vermenigvuldigen de teller en de noemer van de breuk 2/3 met 3 om 6/9 te krijgen
  • We vergelijken de getallen 6/9 en 4/9
  • Uitgave 4/9
  • Uitgave 4/9
• Derde voorbeeld: Vergelijk de getallen 2/4 en 1/2?
  • We ontdekken dat de noemers niet gelijk zijn, dus standaardiseren we de noemers door het kleinste gemene veelvoud =4 te vinden
  • We vermenigvuldigen de teller en de noemer van de breuk 1/2 met 2 om 2/4 te worden
  • We vergelijken de getallen 2/4 en 2/4
  • Het getal 2/4 = 1/2, na het verenigen van de noemers.

Rationele getallen rangschikken

Het rangschikken van getallen in aflopende volgorde betekent het plaatsen van de getallen op basis van hun waarden en het rangschikken ervan van groot naar klein, en het rangschikken van getallen in oplopende volgorde betekent het plaatsen van getallen op basis van hun waarden en het rangschikken ervan van klein naar groot rationale getallen worden als volgt gedetailleerd:

Rangschik rationale getallen in aflopende volgorde

Rationele getallen worden in aflopende volgorde gerangschikt van groot naar klein door de volgende stappen te volgen:

• Het verenigen van de noemers van alle rationale getallen, door het kleinste gemene veelvoud te vinden.
• Het vergelijken van alle getallen in de teller met hetzelfde mechanisme als het vergelijken van gehele getallen.
• Positieve getallen zijn altijd groter dan negatieve getallen, ongeacht hun waarde.

Rangschik rationale getallen in oplopende volgorde

Rationele getallen worden in oplopende volgorde gerangschikt van klein naar groot door deze stappen te volgen:

• Het verenigen van de noemers van alle rationale getallen, door het kleinste gemene veelvoud te vinden.
• Het vergelijken van alle getallen in de teller met hetzelfde mechanisme als het vergelijken van gehele getallen.
• Negatieve getallen zijn altijd kleiner dan positieve getallen, ongeacht hun waarde.

Voorbeelden van het ordenen van rationale getallen

Illustratieve voorbeelden helpen het mechanisme van het rangschikken van rationale getallen in oplopende of aflopende volgorde als volgt te begrijpen:

• Eerste voorbeeldRangschik de volgende rationale getallen in aflopende volgorde: 1/3, 4/9, 5/3?
  • We standaardiseren de noemers van breuken door het kleinste gemene veelvoud = 9 te vinden
  • 3/9, 4/9, 15/9
  • 15/9 > 4/9 > 3/9
  • Dus 5/3 > 4/9 > 1/3
• Tweede voorbeeld: Rangschik de volgende rationale getallen in oplopende volgorde: 8/9, 4/9, 1/9?
  • De noemers zijn hetzelfde, dus de tellers van elk van de noemers worden vergeleken?
  • Een negatief getal is altijd kleiner dan een positief getal.
  • 8/9-

Is nul een rationaal getal?

Ja, nul is een rationaal getal. Rationele getallen zijn getallen die in de vorm A/B kunnen worden geschreven, zodat A en B tot de verzameling gehele getallen behoren, en B niet gelijk is aan nul de teller, ongeacht de noemer ervan.(4)

Hier zijn we aan het einde van ons artikel gekomen Wat zijn rationale getallen in de wiskunde?Waar we licht werpen op rationale getallen, hun eigenschappen, voorbeelden en hoe ze te vergelijken.